Bismillah. Kira2 tujuh tahun lalu, dalam benak saya sempat terbesit keinginan untuk riset atau mendalami suatu topik tentang trajektori gerak, namun kala itu saya merasa agak pesimis bisa mendapati kesempatan semacam itu. Rasa2nya tidak memungkinkan. Tujuh tahun terlewati mengerjakan dan belajar hal-hal yang lain sama sekali, hingga kini Allah tiba2 memberikan kesempatan itu tanpa mencarinya. Saya renung2 dan senyum2 sendiri, takjub mengagumi ‘Tangan-Tangan’ Allah bekerja tanpa saya sadari diiringi rasa syukur tiada terkira dalam hati.
Untuk masuk ke pembahasan trajektori gerak, hal pertama yang saya pelajari adalah Gerak 6 Derajat Kebebasan. Enam derajat kebebasan adalah istilah untuk kebebasan gerak translasi sumbu x, y, z dan gerak rotasi sumbu x, y, z.
Kerangka Koordinat
Gambar di bawah ini menunjukkan dua kerangka koordinat, koordinat bumi dan koordinat benda. Dalam banyak referensi yang saya jumpai, sumbu z positif memang mengarah ke bawah, mungkin disesuaikan dengan konteks grafitasi.
Dari gambar ini, kita mendapatkan notasi2 berikut:
xe, ye, ze adalah posisi berdasarkan kerangka koordinat bumi
xb, yb, zb adalah posisi berdasarkan kerangka koordinat benda
u, v, w, adalah kecepatan translasi di sumbu x, y, z
Sudut Euler
Sebatas pemahaman saya, sudut Euler dalam konteks ini adalah sudut rotasi koordinat benda terhadap koordinat bumi, diilustrasikan sebagaimana gambar di bawah ini.
Sumber: CHRobotics [1]
Sudut roll (ϕ): rotasi koordinat benda terhadap sumbu x
Sudut pitch (θ): rotasi terhadap sumbu y
Sudut yaw (ψ): rotasi terhadap sumbu z
Kinematika Translasi
Dalam pemodelan matematika, umum dikenal istilah kinematika dan dinamika. Kinematika umumnya membahas transformasi koordinat, sedangkan dinamika membahas gerak benda dan gaya-gaya yang memengaruhinya. Kinematika translasi mewakili transformasi koordinat translasi yang dinyatakan dengan persamaan berikut.
x ̇,y ̇,z ̇ adalah kecepatan translasi objek terhadap koordinat bumi
u,v,w adalah kecepatan translasi objek terhadap koordinat benda
ϕ,θ,ψ adalah sudut euler yang mewakili rotasi koordinat benda terhadap koordinat bumi
c adalah kependekan dari cos dan s adalah sin
Kinematika Rotasi
Kinematika rotasi adalah transformasi koordinat rotasi yang dinyatakan dengan persamaan berikut.
ϕ,θ,ψ adalah kecepatan sudut euler, mewakili kecepatan putar koordinat benda terhadap koordinat bumi
p,q,r adalah kecepatan sudut benda terhadap sumbu x y z koordinat benda
c adalah kependekan dari cos, s adalah sin, dan t adalah tan.
Dinamika Translasi
Dinamika translasi mewakili model matematika objek yang dikenai gaya eksternal. Pada dasarnya, dinamika translasi ini adalah Hukum Newton II.
Persamaan percepatan ketiga sumbu di atas dapat disederhanakan penulisannya dalam bentuk vektor sebagai berikut.
dimana × adalah perkalian cross dua vektor.
Dinamika Rotasi
Serupa dengan dinamika translasi, dinamika rotasi mewakili model dinamika gerak rotasi akibat momen atau gaya putar eksternal terhadap objek.
Percepatan rotasi tiga sumbu di atas dapat disederhanakan penulisannya menjadi
dimana I adalah matriks inersia objek.
Untuk objek yang simetris, umumnya asumsi Ixy=Iyx=Ixz=Izx=Iyz=Izy=0 dapat digunakan.
Simulasi di MATLAB
MATLAB Simulink menyediakan simulasi 6-DOF ini, yang merepresentasikan persamaan2 di atas dalam satu blok. Inputnya adalah Gaya Translasi (F) dan Momen Rotasi (M). MATLAB juga menyediakan demo yang memudahkan kita belajar untuk memahami simulasi 6-DOF ini, cukup ketik aero_six_dof.mdl di command window untuk memunculkannya. Bila Anda sudah agak mendalami, coba gabungkan dengan blok 6-DOF Animation, untuk menampilkan gerak objek dalam tiga dimensi sebagaimana saya capture sampelnya di bawah. Menurut saya, keren sekali MATLAB menyediakan fitur ini, sehingga saya ndak perlu repot2 membayangkan dinamika gerak benda dari grafik-grafik scope.
Baik. Selamat belajar... teruslah belajar dan berdoa semoga ilmu yang telah kita pelajari kelak bermanfaat.
Format penulisan lebih baik dapat dilihat dalam versi pdf:
https://www.researchgate.net/publication/320864660_Kinematika_dan_Dinamika_Gerak_6_Derajat_Kebebasan
Sekian dulu, mudah2an bermanfaat. Mohon maaf juga, Karena keterbatasan waktu, sementara saya belum bisa memberi penjelasan panjang lebar. Insya Allah disambung next time. Bila artikel ini dirasa bermanfaat, mohon saya didoakan yang baik2 dalam hati. Maturnuwun. Alhamdulillah.
Referensi
[1] CH Robotics, "Understanding Euler Angles," [Online]. Available: http://www.chrobotics.com/library/understanding-euler-angles.
[2] Mathworks, "6 DOF Euler Angles," [Online]. Available: https://www.mathworks.com/help/aeroblks/6dofeulerangles.html.
No comments:
Post a Comment