pole dominan dan manfaatnya

versi [pdf]

Seorang kawan bertanya, apakah konsep tentang pole dominan itu memang ada? Bila ada, bagaimana dan adakah manfaatnya? bila transfer function / fungsi alih satu sistem memilki banyak pole dapatkah kita sederhanakan berdasarkan pole yang dominan saja?

Saya jawab dalam tulisan berikut, jazakalloh khoir kepada sdr. Mochamad sadli yang telah membantu editing.

Bismillahirrohmaanirrohiim...

Pendekatan Pole Dominan

Karakteristik respon sistem dapat di tentukan/diketahui/dibaca dari peta pole-zero loop tertutup. Namun, pembacaan ini menjadi sulit untuk sistem yang memiliki pole dan zero lebih dari tiga. Analisis pole-zero dominan memungkinkan penyederanaan sistem semacam ini menjadi dua atau tiga dan zero saja. (tapi, tidak semua sistem dapat disederhanakan)

Idenya adalah: dari sekian banyak pole, ada satu/beberapa pole yang dominan, besar pengaruhnya terhadap sistem, sehingga pole yang lain dapat diabaikan.

Pengaruh sebuah pole terhadap sistem dapat diketahui dari dua faktor:

1. Bagian real σ dari pole tersebut, p = σ + jω
2. Magnitud relatif dari residu atas pole tersebut.

Bagian real σ dari pole p adalah nilai yang mewakili penurunan besaran-besaran transient (τ, tr, td, ts, dll). Makin besar σ makin cepat penurunannya (τ, tr, dll makin kecil).

Magnitude residu relatif adalah besar amplitudo respon transient atas pole tersebut atau besar gain untuk pole tersebut di banding pole-pole yang lain.

Dari kedua faktor ini, dapat ditentukan mana saja pole yang dominan.

Contoh 1, mencari pole dominan

Diketahui sistem

Sistem memiliki dua pole, yaitu s1= -1 dan s2 =-5, kita perlu tahu respon step sistem.

Y(s) = G(s).U(s); U(s) = 1/s untuk sinyal unit step

Dari hasil perhitungan: A=1, B= 0.25, dan C=1.25

Dengan tranformasi laplace invers

y(t) = 1 + 0.25e^-t – 1.25e^-5t

tiap suku dalam y(t) disebut residu. 0.25e^-t adalah residu untuk pole s2 dan -1.25e^-5t adalah untuk pole s1.

Magnitude residu dapat kita manfaatkan untuk mengetahui dominasi pole.

• Magnitude residu pole s1 = 1.25
• Magnitude residu pole s2 = 0.25

Artinya, magnitude residu pole s1 adalah lima kali besarnya magnitude residu pole s2. Sehingga dikatakan, (pengaruh) pole s1 lebih dominan dari pole s2.

Contoh 2, menyederhanakan sistem dengan pendekatan pole dominan

Ada satu fungsi transfer sistem, sederhanakan dengan metode pole dominan.

Penyelesaian:

Sistem punya dua pole

s1 = σ1 = -1 dan s2 = σ2 = -5

Untuk menyederhanakan akan sistem, kita perlu cari tahu manakah pole yang dominan, sehingga pole yang lain diabaikan.

Penurunan besarnya transien pada respon sistem akibat pole s2 adalah lima kali (cepatnya) penurunan akibat pole s1.

Respon step dari sistem adalah

c(t) = 1 – 1.25 e^-t + 0.25 e^-5t

Perhatikan! -1.25e^-t adalah residu pada pole s1 dan 0.25e^-5t adalah residu pole s2. Magnitudo residu untuk s1, yaitu 1.25, adalah lima kali besarnya magnitudo residu untuk s2, yaitu 0.25. berdasarkan pertimbangan ini, untuk sebagian besar keperluan praktis, efek pole s2 dapat diabaikan.

Jadi, pengaruh pole s1 lebih dominan daripada pole s2.

Dengan pendekatan ini, sistem dapat disederhanakan menjadi

Pole s2 = -5 dihapus dari fungsi alih (transfer function). Lalu kita perlu hitung K, agar gain steady-state tetap. Gain steady state sistem adalah

Sehingga, nilai K adalah 1

Pustaka

Schaum outline series, 1967, Theory and problems of Feedback and Control System.

versi [pdf]