Lemma. Suatu matriks A n×n dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika A memiliki n eigenvector v1,v2,...,vn yang bebas linier (linierly independent).
Misalnya, λ1,λ2,...,λn adalah eigenvalue yang sesuai dengan eigenvector v1,v2,...,vn.
Kemudian, kita dapat menyusun:
Konstruksi di atas, memastikan bahwa A = QDQ-1.
Diketahui satu sistem persamaan
-4x1 + 2x2 +x3 = 0
2x1 + 3x2 - x3 = 0
-2x1 + 5x2 = 0
Sistem di atas bisa direpresntasikan sebagai Ax = b, dimana
A = [-4 2 1;2 3 -1;-2 5 0]
x = [x1 x2 x3]
b = [0; 0; 0]
Karena persamaan 3 adalah jumlahan dari persamaan 1 dan 2 maka:
- sistem ini tidak punya solusi trivial (eksak), tetapi punya solusi non-trivial,
- determinan A adalah 0 sehingga A adalah matriks singular.
Untuk mencari solusi sistem di atas dengan MATLAB, gunakan fungsi reduksi baris pada matriks gabungan [A b] dengan fungsi rref
>> x = rref([A b])
ans =
1.0000 0 -0.3125 0
0 1.0000 -0.1250 0
0 0 0 0
Arti dari hasil di atas adalah menyatakan x1 dan x2 sebagai fungsi dari x3
x2 = 0.125x3
x1 = 0.3125x3
dimana x3 dapat diisi dengan sembarang bilangan riel.
Misalnya ada sistem persamaan linier seperti ini:
2x1 - x2 + 5x3 = 5
4x1 + 7x2 - x3 = 2
-x1 - 3x2 - 4x3 = 3
x1 + x2 + x3 = 1
Ada empat persamaan dan tiga variabel. Jumlah persamaan lebih banyak daripada jumlah variabel yang dicari. Sistem ini disebut overdetermined.
Sistem semacam ini bisa diselesaikan dengan Pseudo-Inverse.
Nyatakan sistem persamaan dalam matriks Ax = b
dimana
A = [2 -1 5;4 7 -1;-1 -3 -4;1 1 1]
x = [x1; x2; x3]
b = [5; 2; 3; 1]
Solusinya dapat dihitung dengan x = pinv(A)b, dimana pinv(A) adalah pseudo inverse dari A.
Saya coba dengan MATLAB, didapatlah solusi
x = [2.8348; -1.3939; -0.4137]
Untuk cek, bisa dicoba Ax seharusnya sama dengan b
Ax = [4.9950; 1.9961; 3.0016; 1.0273]
Nilai Ax tidak persis sama dengan b, namun mendekati nilai b, karena pseudo-inverse dihitung secara numerik iteratif, bukan eksak.
^2 : Kuadrat/pangkat dua
5^2 = 25
15^2 = (1 x (1+1))25 = 225
25^2 = (2 x (2+1))25 = 625
35^2 = (3 x (3+1))25 = 1225
Jadi... 75^2 = ...
