Uji Feasibility LMI

Sambil merenungkan solusi persoalan LMI yang masih stuck, menanti wahyu turun, saya tulis2 dulu seputar LMI, insyaAlloh kelak ada manfaatnya di kemudian hari.

Salah satu sifat terpenting bagi satu sistem Linear Matrix Inequality (LMI) adalah Feasibility. Feasible terjemah bebasnya adalah “dapat dikerjakan dengan mudah”, maknanya sistem LMI yang didefinisikan memiliki solusi. Sebelum digunakan dalam perhitungan optimasi dalam sistem kontrol, suatu sistem LMI perlu diuji feasibility. Hasil uji feasibility menyatakan bahwa sistem LMI tersebut: feasible, strictly (jelas) feasible, atau infeasible.

Suatu sistem LMI L(x) disebut feasible bila L(x) memiliki solusi untuk kondisi L(x) ≤ 0 tapi tidak ada solusi untuk L(x) < 0, dan L(x) disebut strictly feasible bila memiliki solusi untuk kondisi L(x) ≤ 0 dan L(x) < 0, dan disebut infeasible bila L(x) tidak memiliki solusi untuk kedua kondisi tersebut.

Untuk uji feasibililty ini, MATLAB menyediakan satu fungsi khusus feasp yang akan mencari solusi terhadap sistem LMI yang didefinisikan. Asumsi dalam fungsi ini adalah sistem LMI didefinisikan dengan L(x) ≤ R(x), dimana L(x) adalah suku ruas kiri dan R(x) suku ruas kanan. Selanjutnya, fungsi feasp menghitung persoalan minimisasi berikut

minimumkan t dengan fungsi kendala L(x) – R(x) ≤ t.I

Nilai t yang dihasilkan menjadi indikator feasibility sistem LMI. Sistem LMI disebut feasible bila nilai t ≤ 0, dan disebut strictly feasible bila t < 0. Bila didapatkan nilai t positif dan sangat kecil artinya sistem LMI feasible tapi tidak strictly feasible atau dapat juga disebut marginal (tepi) feasibility.

Kode fungsi feasp adalah

[tmin, xfeas] = feasp(lmisys, options, target)

Parameter: lmisys adalah sistem LMI, options memuat setting untuk fungsi feasp, dan target memuat nilai tmin yang diinginkan. xfeas adalah vektor variabel keputusan (decision variable) dan tmin adalah nilai t paling minimum. Untuk mendapatkan variabel matriks (solusi LMI) dari xfeas, gunakan fungsi dec2mat.

Referensi:

MATLAB LMI Control Toolbox User’s Guide, 1995, version 1, Mathworks