Linierisasi Sistem Nonlinier: Satu Contoh Sederhana

Bismillah. Cukup lama saya ingin menulis tentang sistem nonlinier lalu sering niatan memudar seiring aktivitas. Niatan muncul kembali setelah mendapat pertanyaan2 seputar teknik kontrol dari beberapa rekan akhir2 ini. Melalui tulisan ini saya ingin menceritakan tentang linierisasi sistem nonlinier, suatu teknik yang penting untuk membantu engineer menganalisis kestabilan sistem nonlinier. Konsep dan contohnya saya pelajari dari bukunya (Vukic, Kuljaca, Donlagic, Tesnjak, 2003). Konsep ringkasnya kurang lebih sebagai berikut ini.

Suatu sistem nonlinier

x1dot(t) = f1(x1,x2)

x2dot(t) = f2(x1,x2)

dapat kita cari pendekatan liniernya menjadi

z1dot = a11.z1 + a12.z2

z2dot = a21.z1 + a22.z2

atau bila disederhanakan penulisannya menjadi

zdot(t)=A.z(t)

Teknik linierisasi ini boleh dilakukan apabila:
- Equilibrium state dari sistem nonlinier ditetapkan pada titik asal [x1e   x2e] = [0  0]
- Fungsi f1 dan f2 dapat dideferensialkan di sekitar titik asal (equilibrium state)

Contoh: Van der Pol Oscillator
Untuk mendemonstrasikan teknik linierisasi ini, saya gunakan sistem Van der Pol Oscillator, osilator dengan redaman nonlinier, yang dinyatakan dengan persamaan

y2dot + μ(1-y^2).ydot + y(t) = 0;  μ = constant > 0

Dengan menetapkan variabel state x1=y dan x2=ydot, maka model state-space dapat kita rumuskan sebagai berikut

x1dot(t) = x2                          
x2dot(t) = -x1+μ(1-x1^2 ) x2

Sehingga kita dapatkan
 

f1 = x2                         

f2 = -x1+μ(1-x1^2 ).x2

Lalu kita cari model liniernya dengan menurunkan f1 dan f2

Jadi, model persamaan linier dari sistem nonlinier osilator Van der Pol adalah

z1dot(t) = z2         

z2dot(t) = -z1+μz2

Model pendekatan linier ini yang akan digunakan untuk mengetahui karakteristik dan jenis kestabilan sistem, khususnya pada equilibrium state di titik asal. Untuk analisis kestabilan dan penjelasan lebih lanjut tentang osilator Van der Pol akan saya sambung pada tulisan berikutnya, insya Allah.

Penutup
Sekian. Mudah2an bermanfaat. Alhamdulillah.
Untuk notasi persamaan yang lebih baik silakan unduh versi pdf
Saran/kritik boleh disampaikan via WA: 0857 33 484 101, Email: alfiyahibnumalik@gmail.com
http://mnurq.ga/

Referensi
Vukic, Z., Kuljaca, L., Donlagic, D., Tesnjak, S. (2003). Nonlinear Control Systems. New York, Basel: Marcel Dekker, Inc.