Bismillah. Melanjutkan tulisan terkait sistem nonlinier, saya ingin menulis tentang salah satu karakter dasar dari sistem nonlinier yaitu limit cycle atau self-oscillation. Betapapun asiknya belajar tentang sistem linier, sejatinya semua sistem di alam ini nonlinier semuanya. Sistem linier adalah teknik hampiran yang dalam beberapa kasus sangat ampuh untuk analisis dan simulasi namun dalam beberapa kasus real teknik ini benar2 tidak berdaya. Ketidakberdayaan ini disebabkan karena kompleksitas yang inherent dalam sistem nonlinier.
Apa itu Limit Cycle?
Saya terjemah bebaskan dengan Siklus Terbatas. Atau nama lainnya Self-Oscillation (Osilasi Diri). Maknanya adalah, sistem nonlinier dikatakan memiliki karakter Limit Cycle apabila dinamika nilai variabel state-nya berulang terhadap waktu, bila digambarkan dalam Bidang Fasa nilai variabel state-nya akan membentuk suatu siklus/osilasi.
Apa itu Bidang Fasa?
Bidang Fasa atau Phase Plane adalah grafik yang menampilkan dinamika variabel state-nya terhadap waktu yang dapat digunakan untuk melihat karakteristik dan tipe kestabilan sistem nonlinier.
Trayektori Osilator Van der Pol
Untuk memudahkan pemahaman tentang Limit Cycle dan Bidang Fasa, saya akan sedikit mengutip dan menerjemahkan formulasi osilator Van der Pol dari buku referensi kuliah saya dulu (Vukic, Kuljaca, Donlagic, & Tesnjak, 2003).
Osilator Van der Pol dinyatakan dengan persamaan diferensial nonlinier berikut
y2dot + μ(1-y^2).ydot + y(t) = 0; μ = constant > 0
Dengan menetapkan variabel state x1 = y dan x2 = ydot, maka model state-space nya menjadi
x1dot(t) = x2
x2dot(t) = -x1+μ(1-x1^2 ) x2
Di buku tersebut juga ada kode MATLAB yang untuk menghitung dinamika variabel state dari osilator tersebut. Saya jalankan kodenya dan menghasilkan plot bidang fasa berikut ini.
Grafik di atas adalah plot bidang fasa dari osilator van der pol yang mengisyaratkan perjalanan nilai variabel state terhadap waktu. Sumbu X dan Sumbu Y adalah variabel state (x1,x2) dari sistem dan tiap titik biru adalah nilai dari kedua variabel state pada waktu tertentu. Lintasan yang nampak pada bidang fasa ini sering disebut trayektori fasa (phase trajectory).
Titik yang saya lingkari merah adalah nilai awal variabel state (initial condition). Kita bisa melihat dengan jelas bahwa trayektori variabel state nya membentuk suatu siklus/osilasi dan tiap nilai awal bergerak menuju siklus tersebut. Fenomena inilah yang disebut dengan Limit Cycle dan ini adalah salah satu karakter dasar yang banyak dijumpa di sistem nonlinier.
Lebih jeli lagi, kita dapat melihat bahwa tidak ada trayektori untuk nilai awal (0,0), artinya nilai state sistem tidak berubah terhadap waktu atau sistem mengalami kesetimbangan state (equilibrium state). Kesetimbangan state ini adalah salah satu kriteria kestabilan suatu sistem nonlinier.
Untuk manfaat osilator Van der Pol ini, saya kutip dan terjemahkan dari (“Wikipedia,” n.d.)
Persamaan Van der Pol punya sejarah panjang di ilmu fisika dan biologi. Misalnya di biologi, Fitzhugh dan Nagumol mengembangkan persamaan ini sebagai model transmisi pulsa listrik pada sel-sel syaraf. Persamaan ini juga dimanfaatkan di seismologi untuk memodelkan dua lempeng dalam patahan geologi, dan juga untuk memodelkan salah satu kelainan suara yang disebut vocal fold asymmetry.
Anggaplah dua variabel state (posisi dan kecepatan) di atas adalah analog dengan nasib dan perubahan nasib manusia di dunia. Setiap manusia memiliki kondisi awal ketika dia dilahirkan lalu seiring waktu ia “dipaksa” mengikuti suatu siklus/roda kehidupan: pasang-surut, naik-turun, menang-kalah, untung-rugi, bahagia-duka. Atau bisa juga mewakili rutinitas harian: bangun tidur, sembahyang, mengantar sekolah, kerja, pulang, sembahyang, istirahat, begitupula esoknya. Hampir tiap manusia menjalaninya.
Bila levelnya dinaikkan ke bangsa manusia, Tuhan juga mempergilirkan nasib bangsa2. Era Yunani, Kegelapan Eropa, lalu Renaissance. Arab Jahiliyyah, Era Kenabian, Zaman Keemasan Islam, lalu runtuhnya kekhalifahan dan keterceraiberaian ummat. Di Nusantara, ada Kediri, Samudera Pasai, Majapahit, Demak, Pajang, Mataram, silih berganti. Dinamika ini seakan2 serupa dengan konsep Limit Cycle.
Namun, umunya selalu ada suatu equilibrium state. Dimana bila mencapai titik tersebut, kita akan terlepas dari siklus. Mewakili apakah titik tersebut, silakan diteruskan sendiri renungannya....
Penutup
Sekian. Mudah2an bermanfaat. Alhamdulillah.
Untuk notasi persamaan yang lebih baik silakan unduh versi pdf
Saran/kritik boleh disampaikan via WA: 0857 33 484 101, Email: alfiyahibnumalik@gmail.com
http://mnurq.ga/
Referensi
Vukic, Z., Kuljaca, L., Donlagic, D., Tesnjak, S. (2003). Nonlinear Control Systems. New York, Basel: Marcel Dekker, Inc.
Wikipedia. (n.d.). Retrieved from https://en.wikipedia.org/
Quote
Lir-ilir, lir-ilir, tandure wes sumilir
Tak ijo royo-royo, tak sengguh temanten anyar
Terjemah
Get up... get up...!, tanaman sudah mulai bersemi
Telah hijau nan asri, seakan2 pengantin baru
Tadabur
Bangunlah ayo bangun....! bibit Iman mulai tumbuh bersemi
Rawatlah agar makin meresap di hati, niscaya akan tercapai kebahagiaan sejati
Kanjeng Sunan Kalijogo (1450-1580 M)
No comments:
Post a Comment