Contoh Kalman Filter Diskrit: Estimasi Nilai Konstan

Tulisan ini adalah bagian dari “Introduction to Kalman Filter” oleh Greg Welch & Gary Bishop, 2012

dokumen selengkapnya dalam bahasa Indonesia dapat dibaca / didownload di sini

Kita akan coba untuk mengestimasi satu nilai konstan acak skalar, misalnya nilai tegangan. Anggaplah kita mampu mengukur nilai konstan tersebut, tetapi pengukuran yang dilakukan terganggu dengan noise pengukuran sebesar 0,1 volt RMS dengan tipe white noise (misal, konverter analog ke digital yang digunakan tidak cukup akurat). Dalam contoh ini, proses dinyatakan dengan persamaan beda linier

 

dengan persamaan pengukuran z_k, yaitu

 

State x tidak berubah dari step ke step, jadi A=1. Tidak ada input kontrol, jadi u=0. Pengukuran yang bercampur noise langsung didapatkan dari state x, jadi H=1.

Parameter dan Persamaan Filter

Persamaan update waktu adalah

 

 

dan persamaan update pengukuran adalah

 

Simulasi

Untuk permulaan, kita tetapkan secara acak satu nilai konstan x = -0,37727 (tidak ada “topi” di atas x karena ini mewakili “nilai sebenarnya”). Lalu kita simulasikan 50 pengukuran yang memiliki error berdistribusi normal di sekitar nol dengan standar deviasi 0.1 (ingat, kita anggap pengukuran terganggu dengan white noise pengukuran sebesar 0.1 volt rms). Sebenarnya, kami bisa saja melakukan pengukuran ketika filter sedang bekerja, tapi dengan melakukan pengukuran 50 data sebelum filter dijalankan, kami dapat menjalankan beberapa macam simulasi dengan data pengukuran yang sama persis (maksudnya, dengan noise pengukuran yang sama) sehingga perbandingan antara beberapa simulasi dengan parameter yang berbeda akan lebih bermakna. Dalam simulasi pertama, kami tetapkan varian error pengukuran R=(0,1)²=0,01. Karena ini adalah nilai varian error pengukuran sebenarnya, maka kami berharap mendapat performansi filter “terbaik” dalam arti keseimbangan antara kecepatan respon filter dan varian estimasi. Hal ini akan nampak jelas pada simulasi ke dua dan ke tiga. Gambar 3-1 menampilkan hasil simulasi pertama. Nilai konstan acak yang sebenarnya x = -0,37727, ditampilkan dalam garis lurus tebal, pengukuran yang bercampur noise diwakili tanda plus, dan estimasi filter diwakili dengan kurva.

Gambar 3-1. Simulasi pertama: R=(0,1)²=0,01. Nilai konstan acak yang sebenarnya x = -0,37727 dinyatakan dengan garis lurus tebal, pengukuran yang bercampur noise diwakili tanda plus, dan estimasi filter diwakili kurva.

Ketika pemilihan P₀, kami nyatakan bahwa pemilihan ini tidak terlalu penting selama , karena pada akhirnya estimasi filter akan konvergen (menuju pada satu nilai). Gambar 3-2 di bawah, kami telah plot nilai P_k terhadap iterasi. Pada iterasi ke-50, nilai P_k, yang semula ditetapkan 1 (volt²), bergerak konvergen dan menetap di sekitar 0,0002 (volt²).

Gambar 3-2. Setelah 50 iterasi, nilai awal kovarian error P_k=1 bergerak konvergen dan menetap di sekitar 0,0002 (volt²).

Dalam bagian 1, topik “Parameter Filter dan Penyesuaiannya” kami paparkan secara singkat tentang pengubahan dan “penyesuaian” parameter Q dan R untuk mendapatkan performansi filter yang berbeda. Dalam Gambar 3-3 dan Gambar 3-4 di bawah, kita dapat amati apa yang terjadi ketika R diperbesar atau diperkecil dengan faktor 100. Di Gambar 3-3, filter diberi tahu bahwa varian error pengukuran adalah 100 kali lebih besar (maksudnya R=1) jadi filter “lebih lambat” dalam mempercayai data pengukuran.  

Gambar 3-3. Simulasi ke dua: R=1. Filter lebih lambat dalam merespon data pengukuran, akibatnya varian estimasi filter berkurang.

Pada Gambar 3-4, Filter diberi tahu bahwa varian error pengukuran adalah 100 kali lebih kecil (maksudnya R=0,0001), jadi filter “sangat cepat” mempercayai data pengukuran yang bercampur noise.  

Gambar 3-4. Simulasi ke empat: R=0,0001. Filter merespon data pengukuran dengan cepat sekali, akibatnya varian estimasi filter meningkat.

Meskipun estimasi satu nilai konstan adalah topik yang relatif sederhana, namun mampu mendemonstrasikan unjuk kerja Kalman filter dengan jelas. Pada Gambar 3-3 nampak jelas bahwa estimasi Kalman filter lebih halus daripada data pengukuran yang bercampur noise.  

 

--- akhir ---

 

[dokumen selengkapnya dalam bahasa Indonesia dapat dibaca / didownload di sini]

Penyusun: M. Nur Qomarudin, +62 85733484101, alfiyahibnumalik@gmail.com