Persamaan dan Fungsi Lyapunov

Persamaan Lyapunov amat legendaris dalam ilmu kontrol, khususnya ketika membahas sistem non-linier. Persamaan berikut ini disebut Persamaan Lyapunov yang diusulkan oleh Alexander Lyapunov (1892).

Matriks A, P, Q adalah matriks persegi dengan elemen bilangan riel, P dan Q adalah matriks simetri. A adalah matriks sistem dalam persamaan state.

Persamaan Lyapunov umumnya disandingkan dengan fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov mewakili energi yang terlibat dalam sistem. Dalam ilmu kontrol, keduanya sering digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu sistem baik linier maupun non-linier.

Untuk memperjelas konsep, saya sertakan contoh dari buku (Vukic, 2003).

 

Rangkaian ini adalah osilator LC tanpa sumber. Variabel state yang dipilih adalah arus induktor i(t) dan tegangan kapasitor v(t), sehingga didapatkan persamaan state

 

dimana x = [x₁ x₂]^T = [i(t) v(t)]^T. Energi listrik dari rangkaian ini dinyatakan dengan persamaan berikut

E(t) = 0.5Li(t)² + 0.5Cv(t)²

Persamaan energi ini dapat kita nyatakan dalam bentuk perkalian matriks berikut

 

E = x^TPx

dimana P adalah matriks definit positif dan simetris

 

Persamaan E ini disebut juga fungsi Lyapunov karena dia mewakili energi yang terlibat dalam sistem. Fungsi Lyapunov umumnya diberi simbol V, sehingga fungsi Lyapunov untuk osilator LC ini adalah

V(x) = x^TPx

Referensi:

Vukic, Z., Kuljaca, L., Donlagic, D., & Tesnjak, S. (2003). Nonlinear Control System. New York: Marcel Dekker, Inc.



Notes: Bila artikel ini bermanfaat bagi Saudara-i, kami harap Anda sedia like Facebook Fanpage kami: Masjidillah. Like dan dukungan Anda sangat bermakna bagi kami. Terimakasih.