Kisah Singkat Tentang Linear Quadratic Regulator

Bismillah. Tulisan ini mengenang kuliah saya di tahun 2008. Tentang Linear Quadratic Regulator (LQR). Alhamdulillah, saya sangat bersyukur ada sahabat dari Riau yang bertanya sehingga saya berkesempatan belajar kembali.

Apa itu regulator?

 

Saya tidak tahu definisi resminya, setahu saya, regulator adalah persoalan kontrol dimana input sistem dibuat nol, dan diinginkan agar output sistem sedapat mungkin mendekati nol juga.

Diagram blok LQR

Diagram ini adalah sistem loop tertutup, contoh sederhana dari LQR. Di sini, set point dibuat nol dan terdapat umpan balik dari variabel state dengan gain K, sehingga boleh dikata bahwa sinyal kontrol adalah u = 0 – Kx = -Kx

 

Formulasi Linear Quadratic Regulator

Secara matematis, persoalan LQR diformulasikan dalam persamaan berikut

 

J adalah fungsi biaya (cost function), umumnya mewakili energi. Q dan R adalah matriks pembobot. Tujuan kontrolnya adalah mencari nilai K (gain state-feedback) agar J seminimum mungkin.

Menentukan pembobot Q dan R

Menurut bukunya Frank Lewis, bila diinginkan state kecil maka tetapkan Q yang besar, bila diinginkan energi kontrol kecil maka tetapkan R yang besar. Itu teorinya. Namun secara praktis, cara termudah adalah dengan menetapkan Q = I dan R = ρ.I, cari nilai ρ hingga tercapai respon yang bagus.

Simulasi

Misal, plant dinyatakan dengan persamaan state-space berikut

A=[0 1;3406.25 -2.381];
B=[0;92.37];
C=[159.49206 0];
D=[0];

Menetapkan pembobot Q dan R sekaligus menghitung gain state-feedback K

Q=eye(2);
R=0.01*eye(1);
K=lqr(A,B,Q,R);

Dengan Q = I dan R = 0.01xI

 

Dengan Q = I dan R = I

 

Analisis hasil simulasi

Dari perbandingan dua parameter R ini dapat disimpulkan bahwa makin besar R maka energi kontrol yang dibutuhkan makin minimum namun energi state-nya menjadi lebih besar, khususnya variabel x2, meskipun variabel state lebih cepat menuju nol. Energi state yang lebih besar ini adalah efek dari energi kontrol yang minimum. Dalam persoalan LQR, minimisasi energi state dan energi kontrol lebih menjadi prioritas dari pada minimisasi waktu.

Sekian. Mudah2an bermanfaat.

Penyusun

M. Nur Qomarudin, +62 85733484101, alfiyahibnumalik@gmail.com

Bila tulisan ini dirasa bermanfaat, saya berharap pembaca sudi mendoakan saya dengan kebaikan atau dengan membacakan surat al-Fatihah. Terimakasih.

Referensi

[1] Frank L. Lewis, Optimal Control 2nd Edition
[2] Mathworks, Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) Design
[3] R. M. Murray, Lecture 2 – LQR Control, California Institute of Technology

Unduh PDF

https://drive.google.com/uc?export=download&id=0B_EZTWjA0yY3WXF4S0NqRmZqZDA