Mencari solusi sistem persamaan linier yang lebih banyak dari variabelnya

Misalnya ada sistem persamaan linier seperti ini:

    2x1 - x2 + 5x3 = 5

    4x1 + 7x2 - x3 = 2

    -x1 - 3x2 - 4x3 = 3

    x1 + x2 + x3 = 1

Ada empat persamaan dan tiga variabel. Jumlah persamaan lebih banyak daripada jumlah variabel yang dicari. Sistem ini disebut overdetermined.

Sistem semacam ini bisa diselesaikan dengan Pseudo-Inverse.

Nyatakan sistem persamaan dalam matriks Ax = b

dimana 

    A = [2 -1 5;4 7 -1;-1 -3 -4;1 1 1]

    x = [x1; x2; x3]

    b = [5; 2; 3; 1]

Solusinya dapat dihitung dengan x = pinv(A)b, dimana pinv(A) adalah pseudo inverse dari A.

Saya coba dengan MATLAB, didapatlah solusi

x = [2.8348; -1.3939; -0.4137]

Untuk cek, bisa dicoba Ax seharusnya sama dengan b

Ax = [4.9950; 1.9961; 3.0016; 1.0273]

Nilai Ax tidak persis sama dengan b, namun mendekati nilai b, karena pseudo-inverse dihitung secara numerik iteratif, bukan eksak.