Men-diagonal-kan matriks persegi yang memiliki eigenvalue berbeda

Lemma. Suatu matriks A n×n dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika A memiliki n eigenvector v1,v2,...,vn yang bebas linier (linierly independent).

Misalnya, λ1,λ2,...,λn adalah eigenvalue yang sesuai dengan eigenvector v1,v2,...,vn. 

Kemudian, kita dapat menyusun:

• matriks Q n×n dengan menempatkan vi sebagai kolom ke-i dari Q, (1 ≤ i ≤ n).
• matriks diagonal n×n D = diag[λ1,λ2,...,λn].

Konstruksi di atas, memastikan bahwa A = QDQ^-1.

Contoh. Carilah bentuk diagonal dari matriks A di bawah ini.

Pertama, cari eigenvalue matriks A. Gunakan MATLAB, dengan perintah eig(A) akan didapatkan eigenvalue matriks A

λ1 = 0.5, λ2 = 0.6, λ3 = 0.7, dan λ4 = 0.8

Karena eigenvalue-nya berbeda semua, pasti semua eigenvector-nya bebas linier (linierly independent), sehingga matriks A dapat di-diagonal-kan.

Kedua, cari eigenvector untuk masing-masing eigenvalue.

Matriks transformasi Q sudah bisa dibuat dengan menggabungkan eigenvector sesuai urutan eigenvalue-nya.

Dengan MATLAB, matriks transformasi Q dan juga hasil matriks diagonalnya D dapat langsung dihasilkan dengan perintah [Q,D] = eig(A).

Bila ingin membuktikan, cobalah menghitung Q^-1AQ, dipastikan menghasilkan matriks diagonal D.

Sekian.