Soal 1

Dengan Nama Alloh, Ar Rohman Ar-Rochiim.

Soal

Sebuah sinyal x(t) dinyatakan dalam persamaan berikut.

x(t) = cos ((4π/7)*t) sin ((5π/3)*t)

Apakah sinyal ini periodik?

Jika benar, hitunglah periode sinyal x(t)!

 

Penyelesaian

Soal ini dapat diselesaikan dalam beberapa langkah.

 

Langkah 1 – penyesuaian formulasi sinyal x(t)

Ubah persamaan sinyal x(t) ke dalam bentuk penjumlahan. Gunakan persamaan berikut.

cos a sin b = (1/2)*(sin (a+b) – sin (a-b))

Kita misalkan

cos ((4π/7)*t) sin ((5π/3)*t) = cos a sin b

dengan

a = (4π/7)*t

b = (5π/3)*t

maka

⇔ cos ((4π/7)*t) sin ((5π/3)*t) =

(1/2)*(sin ((4π/7)*t + (5π/3)*t) – sin ((4π/7)*t - (5π/3)*t))

⇔ cos ((4π/7)*t) sin ((5π/3)*t) =

(1/2)*(sin (((4π/7) + (5π/3))*t) – sin (((4π/7) - (5π/3))*t))

⇔ cos ((4π/7)*t) sin ((5π/3)*t) =

(1/2)*(sin ((47π/21)*t) – sin ((-23π/21)*t))

dengan kalimat lain

⇔ x(t) = (1/2)*(sin ((47π/21)*t) – sin ((-23π/21)*t))

menurut aturan Trigonometri

sin (-a) = – sin a

artinya

sin ((-23π/21)*t)) = - sin ((23π/21)*t))

jadi

⇔ x(t) = (1/2)*(sin ((47π/21)*t) + sin ((23π/21)*t))

 

 

Langkah 2 – apakah sinyal x(t) periodik?

Apabila

sebuah sinyal x(t) merupakan penjumlahan dari sinyal q(t) dan r(t)

x(t) = q(t) + r(t)

yang mana q(t) dan r(t) adalah sinyal periodik dengan periode fundamental masing-masing T_q dan T_r

maka

sinyal x(t) dikatakan periodik jika dan hanya jika perbandingan T_q dan T_r adalah bilangan rasional,

dengan kata lain

T_q / T_r = a / b

yang mana a dan b adalah bilangan bulat.

Selanjutnya, periode fundamental dari sinyal x(t) dapat dihitung dengan persamaan berikut.

T = b*T_q = a*T_r

Sekarang, dimisalkan

⇔ (1/2)*sin ((47π/21)*t) sebagai q(t)

ω_q = 47π / 21

T_q = 2π / ω_q

T_q = 42/47

⇔ (1/2)*sin ((23π/21)*t) sebagai r(t)

ω_r = 23π / 21

T_r = 2π / ω_r

T_r = 42/23

sehingga

T_q / T_r = 23 / 47

Berdasarkan perhitungan ini, disimpulkan bahwa perbandingan T_q dan T_r adalah bilangan rasional artinya sinyal x(t) adalah sinyal periodik.

 

Langkah 3 – Menghitung periode fundamental sinyal x(t)

Periode fundamental sinyal x(t), yang dinyatakan dengan notasi T, dapat dicari melalui perhitungan berikut ini.

T = 47*T_q atau boleh juga T = 23*T_r

dengan nilai T_q = 42/47, maka

T = 47*(42/47)

T = 42

Artinya, periode fundamental sinyal x(t) adalah 42.

 

Langkah 4 – Plot Sinyal

Mungkin ada yang bertanya, bagaimana plot sinyal x(t)?

Plot sinyal x(t) = cos ((4π/7)*t) sin ((5π/3)*t)

Sekian,

Segala puji bagi Alloh, Tuhan Alam Semesta.