Soal 3

Dengan Nama Alloh, Sang Maha Pengasih Sang Maha Penyayang.

 

Soal

Diberikan sebuah sinyal waktu diskrit x[n].

x[n] = sin ((2π/3)*n) sin ((7π/5)*n)

Apakah sinyal x[n] periodik? Jika benar, tentukan pula periode sinyal x[n]?

 

Penyelesaian

Sinyal x[n] memiliki persamaan berupa perkalian dua sinusoidal. Untuk menentukan periode, sinyal x[n] perlu dinyatakan dalam bentuk jumlahan sinusoidal.

Menurut kaidah trigonometri

sin a sin b = (1/2)*cos (a – b) – (1/2)*cos (a + b)

Dengan kaidah ini, sinyal x[n] dapat dinyatakan dengan

⇔ x[n] = (1/2)*cos ((2π/3 - 7π/5)*n) - (1/2)*cos ((2π/3 + 7π/5)*n)

⇔ x[n] = (1/2)*cos ((-11π/15)*n) - (1/2)*cos ((31π/15)*n)

Menurut kaidah trigonometri

cos (-a) = cos a

Sehingga didapatkan

⇔ x[n] = (1/2)*cos ((11π/15)*n) - (1/2)*cos ((31π/15)*n)

Selanjutnya kita nyatakan x[n] dengan

x[n] = x₁[n] + x₂[n]

dimana

x₁[n] = (1/2)*cos ((11π/15)*n) ; dan

x₂[n] = - (1/2)*cos ((31π/15)*n)

 

Apakah x₁[n] dan x₂[n] periodik?

Sinyal sinusoidal waktu diskrit bersifat periodik jika

ω/2π = m/N = bilangan rasional

Apakah x₁[n] = (1/2)*cos ((11π/15)*n) bersifat periodik?

• Frekuensi sudut x₁[n] adalah ω₁ = 11π/15
• nilai perbandingan ω₁/2π = 11/30 = m/N₁; 11/30 adalah bilangan rasional
• artinya, sinyal x₁[n] periodik dengan periode fundamental N₁ = 30.

Apakah x₂[n] = - (1/2)*cos ((31π/15)*n) bersifat periodik?

• Frekuensi sudut x₂[n] adalah ω₂ = 31π/15
• nilai perbandingan ω₂/2π = 31/30 = m/N₂; 31/30 adalah bilangan rasional
• artinya, sinyal x₂[n] periodik dengan periode fundamental N₂ = 30.

 

Apa itu bilangan Rasional?

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk m/n.

Contoh

1/4 dinyatakan dalam bentuk m/n; 1/4 adalah bilangan rasional.

0.75 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 3/4; 0.75 adalah bilangan rasional.

3.14 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n; 3.14 bukan bilangan rasional.

 

Menentukan periode sinyal x[n]

Apabila x₁[n] periodik dengan periode fundamental N₁; dan

x2[n] juga periodik dengan periode fundamental N₂, maka

x[n] bersifat periodik dengan periode fundamental N jika memenuhi

x[n + N] = x₁[n + a*N₁] + x₂[n + b*N₂]

dimana

⇔ N = a*N₁ = b*N₂

⇔ N₁/N₂ = b/a

Dengan kalimat lain, sinya x[n] periodik jika nilai perbandingan N₁/N₂ adalah bilangan rasional.

 

Apakah sinyal x[n] bersifat periodik?

Berdasarkan hasil perhitungan

N₁ = 30

N₂ = 30

Sehingga

N₁/N₂ = 30/30 = 1/1 = b/a = 1 (bilangan rasional)

Artinya sinyal x[n] bersifat periodik.

Berapa periode fundamental sinyal x[n]

Periode fundamental sinyal x[n] dapat dihitung dengan

N = a*N1 = 1*30

N = 30

 

Jadi

Sinyal x[n] = sin ((2π/3)*n) sin ((7π/5)*n) adalah periodik dengan periode fundamental (N) sebesar 30.

 

Sekian

Segala Puji Milik Alloh, Tuhan Semesta Alam.